変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=e^x{e}^y}$

■答

${\displaystyle y=-\log \left(C-e^x\right)}$ 　　　（ただし${\displaystyle C}$は正の定数）

■ヒント

変数分離形微分方程式を参照

■解き方

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=e^x{e}^y}$

変数分離形方程式の解法 その３ のように形式的な変形をする

両辺に${\displaystyle dx}$ をかけて

${\displaystyle dy=e^x{e}^{y}dx}$

${\displaystyle \frac{1}{e^y}dy=e^{x}dx}$

${\displaystyle e^{-y}dy=e^{x}dx}$

両辺を積分すると

${\displaystyle {\displaystyle \int e^{-y}}dy={\displaystyle \int e^{x}dx}+C^{\prime }}$　（ただし${\displaystyle C}$ は定数）

⇒積分の基本公式はこちら

${\displaystyle -e^{-y}=e^x+C^{\prime }}$

${\displaystyle \frac{1}{e^y}=-C^{\prime }-e^x}$

${\displaystyle C=-C^{\prime }}$ とおく

${\displaystyle \frac{1}{e^y}=C-e^x}$

${\displaystyle e^y>0}$ ，${\displaystyle e^x>0}$より，${\displaystyle C}$ は正の定数となる．

${\displaystyle y=\log \left(\frac{1}{C-e^x}\right)}$

${\displaystyle =\log {\left(C-e^x\right)}^{-1}}$

${\displaystyle =-\log \left(C-e^x\right)}$

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最終更新日： 2023年6月16日